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天文学@@872788/研究生@@872789/天体物理学@@829763/基础主题@@829764/基本物理原理@@829765/大质量天体物理物体附近的间隔和测地线@@829775/Appendices.json

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+{"hands_on_practices": [{"introduction": "我们从一个引人入胜的思想实验开始，它揭示了黑洞附近时空的极端性质。我们将探讨从史瓦西黑洞附近的一个固定位置发射的光子能否逃逸到无穷远处。通过计算临界发射角，我们可以精确地确定光子是被黑洞捕获还是成功逃逸的边界，这个练习直接关联到黑洞“阴影”这一可观测现象的形成原理，为理解光在强引力场中的行为提供了基础。[@problem_id:229423]", "problem": "在一个质量为 $M$ 的静态、球对称、不旋转的黑洞外的时空中，其几何由史瓦西度规描述。在标准史瓦西坐标 $(t, r, \\theta, \\phi)$ 中，并采用光速 $c=1$ 的单位制，线元由下式给出：\n$$ds^2 = -\\left(1 - \\frac{r_s}{r}\\right) dt^2 + \\left(1 - \\frac{r_s}{r}\\right)^{-1} dr^2 + r^2 \\left(d\\theta^2 + \\sin^2\\theta d\\phi^2\\right)$$\n此处，$r_s = 2GM$ 是史瓦西半径，其中 $G$ 是引力常数。\n\n考虑一个位于固定径向坐标 $R > \\frac{3}{2}r_s$ 处的静止观测者。该观测者向外半球发射一个光子（即初始速度在 $+r$ 方向上有一个分量）。发射方向可以用一个角度 $\\alpha$ 来表征，该角度是在观测者的局域参考系中相对于径向向外方向测量的。$\\alpha=0$ 的角度对应于纯粹径向向外发射的光子，而 $\\alpha=\\pi/2$ 对应于沿半径为 $R$ 的恒定球面切向发射的光子。\n\n对于给定的发射半径 $R$，存在一个临界角 $\\alpha_{crit}$，它区分了逃逸到无穷远的轨迹和被黑洞捕获的轨迹。以 $\\alpha > \\alpha_{crit}$ 发射的光子将逃逸，而以 $\\alpha  \\alpha_{crit}$ 发射的光子最终将落入事件视界。\n\n请推导 $\\sin(\\alpha_{crit})$ 的闭式表达式，用发射半径 $R$ 和史瓦西半径 $r_s$ 表示。", "solution": "1. 光子的守恒量：\n$$E=-p_t,\\quad L=p_\\phi,\\quad b=\\frac{L}{E}.$$\n2. 径向方程和有效势：\n$$\\Bigl(\\frac{dr}{d\\lambda}\\Bigr)^2+V_{\\rm eff}(r)=E^2,\\quad\nV_{\\rm eff}(r)=\\frac{1-\\frac{r_s}{r}}{r^2}L^2.$$\n3. 位于 $r=r_{\\rm ph}$ 的不稳定圆形光子轨道满足 $dV_{\\rm eff}/dr=0$：\n$$r_{\\rm ph}=\\frac{3}{2}r_s.$$\n4. 临界碰撞参数：\n$$b_c^2=\\frac{r_{\\rm ph}^2}{1-\\frac{r_s}{r_{\\rm ph}}}\n=\\frac{\\tfrac{9}{4}r_s^2}{1-\\tfrac{2}{3}}\n=\\frac{27}{4}r_s^2,\\quad b_c=\\frac{3\\sqrt{3}}{2}\\,r_s.$$\n5. 对于位于 $r=R$ 的静止观测者，局域发射角 $\\alpha$ 与 $b$ 之间的关系：\n$$E_{\\rm loc}=\\frac{E}{\\sqrt{1-\\frac{r_s}{R}}},\\quad\np^{\\hat\\phi}=\\frac{L}{R},\\quad\n\\sin\\alpha=\\frac{p^{\\hat\\phi}}{E_{\\rm loc}}\n=\\frac{b}{R}\\sqrt{1-\\frac{r_s}{R}}.$$\n6. 在临界角处：\n$$\n\\sin\\alpha_{\\rm crit}\n=\\frac{b_c}{R}\\sqrt{1-\\frac{r_s}{R}}\n=\\frac{3\\sqrt{3}}{2}\\,\\frac{r_s}{R}\\,\\sqrt{1-\\frac{r_s}{R}}.\n$$", "answer": "$$\\boxed{\\frac{3\\sqrt{3}}{2}\\,\\frac{r_s}{R}\\,\\sqrt{1-\\frac{r_s}{R}}}$$", "id": "229423"}, {"introduction": "在掌握了真空时空中的测地线之后，我们现在将目光投向大质量天体的内部。这个问题要求我们计算在一个理想化的、密度均匀的相对论性恒星内部，一个测试粒子沿圆形轨道运动的固有周期。这个练习迫使我们从熟悉的外部史瓦西度规转向更复杂的内部解，它清晰地展示了物质分布如何改变时空几何，并影响其中物体的动力学行为，揭示了与牛顿引力理论的显著差异。[@problem_id:229267]", "problem": "考虑一颗总质量为 $M$、半径为 $R$ 的静态球对称恒星，其质能密度均匀。该恒星内部（$r \\le R$）的几何由史瓦西内部度规描述。在史瓦西坐标 $(t, r, \\theta, \\phi)$ 下，线元由下式给出：\n$$\nds^2 = -\\left[\\frac{3}{2}\\sqrt{1-\\frac{2GM}{c^2R}} - \\frac{1}{2}\\sqrt{1-\\frac{2GMr^2}{c^2R^3}}\\right]^2 c^2 dt^2 + \\frac{dr^2}{1-\\frac{2GMr^2}{c^2R^3}} + r^2(d\\theta^2 + \\sin^2\\theta d\\phi^2)\n$$\n其中 $G$ 是引力常数，$c$ 是光速。\n\n一个具有非零质量的测试粒子在该时空内沿着一条类时测地线运动。假设该粒子在赤道平面（$\\theta = \\pi/2$）上，以恒定的坐标半径 $r = r_0 \\le R$ 做稳定的圆形轨道运动。\n\n推导该粒子的固有时轨道周期 $\\tau_p$ 的表达式。最终表达式应以给定参数 $M, R, r_0, G$ 和 $c$ 表示。", "solution": "我们将史瓦西内部度规写成如下形式\n$$ds^2=-A(r)c^2dt^2+\\frac{dr^2}{B(r)}+r^2d\\Omega^2\\,, $$\n其中\n$$A(r)=\\Bigl[\\tfrac32\\sqrt{1-\\frac{2GM}{c^2R}}-\\tfrac12\\sqrt{1-\\frac{2GMr^2}{c^2R^3}}\\Bigr]^2,\\quad \nB(r)=1-\\frac{2GMr^2}{c^2R^3}\\,. $$\n\n1. 守恒的能量和角动量给出\n$$E=-g_{tt}\\frac{dt}{d\\tau}=A\\,c^2\\frac{dt}{d\\tau},\\qquad \nL=g_{\\phi\\phi}\\frac{d\\phi}{d\\tau}=r^2\\frac{d\\phi}{d\\tau}\\,. $$\n\n2. 圆形轨道的径向有效势条件 $\\partial_rV_{\\rm eff}=0$ 得出\n$$L^2\n=\\frac{c^2r^3A'}{2A-rA'}\\,,\\qquad\n\\Omega^2\\equiv\\Bigl(\\frac{d\\phi}{dt}\\Bigr)^2\n=\\frac{c^2A'}{2r}\\,. $$\n\n3. 固有时轨道周期为\n$$\\tau_p=\\frac{2\\pi}{d\\phi/d\\tau}\n=2\\pi\\frac{r^2}{L}\n=2\\pi\\sqrt{\\frac{r(2A-rA')}{c^2A'}}\\,. $$\n\n4. 定义\n$$\\alpha=\\sqrt{1-\\frac{2GM}{c^2R}},\\qquad\n\\beta=\\sqrt{1-\\frac{2GMr^2}{c^2R^3}}\\,. $$\n可以求得\n$$A'=\\,\\frac{GM\\,r\\,(3\\alpha-\\beta)}{\\beta\\,c^2R^3},\\qquad\n2A-rA'=(3\\alpha-\\beta)\\Bigl[\\tfrac12(3\\alpha-\\beta)-\\tfrac{GM\\,r^2}{\\beta\\,c^2R^3}\\Bigr]\\!. $$\n\n5. 注意到 $GM\\,r^2/(c^2R^3)=(1-\\beta^2)/2$，平方根内的乘积可简化为\n$$\\frac{r(2A-rA')}{c^2A'}\n=\\frac{R^3}{2GM}\\bigl(3\\alpha\\beta-1\\bigr)\\,. $$\n\n因此，固有时轨道周期为\n$$\\tau_p\n=2\\pi\\sqrt{\\frac{R^3}{2GM}\\Bigl(3\\sqrt{1-\\frac{2GM}{c^2R}}\\;\\sqrt{1-\\frac{2GM\\,r_0^2}{c^2R^3}}-1\\Bigr)}\\,. $$", "answer": "$$\\boxed{2\\pi \\sqrt{\\frac{R^3}{2GM}\\Bigl(3\\sqrt{1-\\frac{2GM}{c^2R}}\\;\\sqrt{1-\\frac{2GMr_0^2}{c^2R^3}}-1\\Bigr)}}$$", "id": "229267"}, {"introduction": "最后，我们探讨一个由大质量天体自转引起的更为精妙的广义相对论效应：参考系拖拽（或称冷泽-蒂林效应）。这个问题引导我们分析光在旋转的克尔黑洞赤道面内的运动，并计算其偏振矢量因时空扭曲而发生的旋转角度。这个练习将我们从静态时空带入稳态轴对称时空，量化了“时空本身被旋转质量拖动”这一惊人现象的可观测效应，深化了我们对引力与时空动态相互作用的理解。[@problem_id:229452]", "problem": "在广义相对论中，大质量物体（如克尔黑洞）的旋转会引起一种被称为“坐标系拖拽”或“兰斯-蒂林效应”的现象。这种效应可以被解释为产生了一个“引力磁”场，它导致陀螺仪的进动以及光的偏振矢量的进动。在弯曲时空中，这种进动是广义Rytov-Skrotskii-Vladimirskii (RSV) 效应的一个关键组成部分。\n\n考虑一个质量为 $M$、自旋参数为 $a$ 的克尔黑洞。我们研究一个在赤道平面（$\\theta=\\pi/2$）内，沿着半径为 $r_0$ 的常数圆形零测地线运动的光子。由坐标系拖拽引起的光子偏振矢量的旋转由兰斯-蒂林频率决定，该频率是局域非转动参考系（LNRF）相对于远处观测者的角速度。对于指定的赤道平面，该频率由下式给出：\n$$\n\\omega_{LT}(r_0) = \\frac{2aM}{r_0^3 + a^2r_0 + 2a^2M}\n$$\n由远处观测者测量的光子本身的角速度，取决于其轨道是顺行（与黑洞同向旋转）还是逆行（反向旋转）。对于顺行轨道，角速度为：\n$$\n\\Omega_{\\gamma}(r_0) = \\frac{\\sqrt{M}}{r_0^{3/2} + a\\sqrt{M}}\n$$\n假设光子的偏振矢量被LNRF“拖拽”。请推导在光子绕黑洞完成一整圈轨道（即其方位角 $\\phi$ 改变了 $2\\pi$）后，由兰斯-蒂林效应引起的偏振总旋转角 $\\Delta\\alpha_{LT}$ 的表达式。请将答案仅用黑洞的质量 $M$、其自旋参数 $a$ 和轨道半径 $r_0$ 来表示。", "solution": "1. 相关方程：  \n   赤道圆形轨道的兰斯-蒂林频率  \n   $$\n   \\omega_{LT}(r_0)=\\frac{2aM}{r_0^3+a^2r_0+2a^2M}\\,,\n   $$  \n   光子角速度（顺行）  \n   $$\n   \\Omega_\\gamma(r_0)=\\frac{\\sqrt{M}}{r_0^{3/2}+a\\sqrt{M}}\\,.\n   $$  \n2. 总旋转角 $\\Delta\\alpha_{LT}$ 是 $\\omega_{LT}$ 在一个轨道周期 $T=2\\pi/\\Omega_\\gamma$ 内的积分：  \n   $$\n   \\Delta\\alpha_{LT}=\\int_0^T\\omega_{LT}\\,dt\n   =\\omega_{LT}\\,T\n   =\\omega_{LT}\\,\\frac{2\\pi}{\\Omega_\\gamma}\\,.\n   $$  \n3. 代入 $\\omega_{LT}$ 和 $\\Omega_\\gamma$：  \n   $$\n   \\Delta\\alpha_{LT}\n   =2\\pi\\,\\frac{2aM}{r_0^3+a^2r_0+2a^2M}\n   \\;\\biggl/\\;\\frac{\\sqrt{M}}{r_0^{3/2}+a\\sqrt{M}}\n   =2\\pi\\,\\frac{2aM}{r_0^3+a^2r_0+2a^2M}\\,\\frac{r_0^{3/2}+a\\sqrt{M}}{\\sqrt{M}}.\n   $$  \n4. 化简因子 $M$：  \n   $$\n   \\Delta\\alpha_{LT}\n   =4\\pi\\,\\frac{aM}{r_0^3+a^2r_0+2a^2M}\\,\\frac{r_0^{3/2}+a\\sqrt{M}}{\\sqrt{M}}\n   =4\\pi\\,\\frac{a\\sqrt{M}\\,\\bigl(r_0^{3/2}+a\\sqrt{M}\\bigr)}{r_0^3+a^2r_0+2a^2M}\\,.\n   $$", "answer": "$$\\boxed{\\frac{4\\pi a\\sqrt{M}\\,\\bigl(r_0^{3/2}+a\\sqrt{M}\\bigr)}{r_0^3+a^2r_0+2a^2M}}$$", "id": "229452"}]}