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数学@@872779/本科@@872780/代数拓扑@@835638/基础主题@@835639/同伦与基本群@@835683/S² 的 Borsuk-Ulam 定理@@835703/Appendices.json

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+{"hands_on_practices": [{"introduction": "博尔苏克-乌拉姆定理是一个强大的存在性定理，但它本身并不告诉我们如何找到满足 $f(p) = f(-p)$ 的点。这个练习将带领我们通过具体的代数计算，为一个给定的连续函数 $f: S^2 \\to \\mathbb{R}^2$ 精确定位出这样一个对跖点对。通过这个过程，我们可以将抽象的理论声明转化为一个可计算、可验证的有形结果，从而加深对该定理实际意义的理解。[@problem_id:1634307]", "problem": "设 $S^2$ 为 $\\mathbb{R}^3$ 中的单位球面，由方程 $x^2 + y^2 + z^2 = 1$ 定义。考虑一个由多项式函数 $f(x,y,z) = (x^2 + y + z, x + y^2)$ 给出的连续映射 $f: S^2 \\to \\mathbb{R}^2$。Borsuk-Ulam 定理保证在 $S^2$ 上至少存在一对对跖点 $p$ 和 $-p$，使得 $f(p) = f(-p)$。你的任务是明确地找出这些点。确定这对对跖点中 $z$ 坐标为正的点 $p$ 的坐标。", "solution": "设 $p=(x,y,z)\\in S^{2}$，因此 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$。其对跖点为 $-p=(-x,-y,-z)$。计算\n$$\nf(x,y,z)=(x^{2}+y+z,\\; x+y^{2}),\\qquad f(-x,-y,-z)=(x^{2}-y-z,\\; -x+y^{2}).\n$$\n按分量令 $f(p)=f(-p)$：\n$$\nx^{2}+y+z=x^{2}-y-z,\\qquad x+y^{2}=-x+y^{2}.\n$$\n由此可得\n$$\n2y+2z=0 \\;\\Rightarrow\\; y+z=0 \\;\\Rightarrow\\; z=-y,\\qquad 2x=0 \\;\\Rightarrow\\; x=0.\n$$\n将 $x=0$ 和 $z=-y$ 代入球面约束条件：\n$$\nx^{2}+y^{2}+z^{2}=1 \\;\\Rightarrow\\; 0+y^{2}+(-y)^{2}=1 \\;\\Rightarrow\\; 2y^{2}=1 \\;\\Rightarrow\\; y=\\pm \\frac{1}{\\sqrt{2}},\n$$\n所以 $z=\\mp \\frac{1}{\\sqrt{2}}$。$z$ 坐标为正的点是通过取 $y=-\\frac{1}{\\sqrt{2}}$ 得到的，因此\n$$\np=\\left(0,\\,-\\frac{1}{\\sqrt{2}},\\,\\frac{1}{\\sqrt{2}}\\right).\n$$\n直接检验可得 $f(p)=\\left(0,\\,\\frac{1}{2}\\right)=f(-p)$，符合要求。", "answer": "$$\\boxed{\\begin{pmatrix} 0  -\\frac{1}{\\sqrt{2}}  \\frac{1}{\\sqrt{2}} \\end{pmatrix}}$$", "id": "1634307"}, {"introduction": "博尔苏克-乌拉姆定理保证了“至少存在”一对满足条件的对跖点，但这并不意味着这样的点对是唯一的。在某些情况下，满足条件的点集可能远比单个点对要丰富。这个练习探讨了一个具有清晰几何意义的函数，它将球面上的点映射到其与南、北两极的距离。通过求解 $f(p) = f(-p)$，我们将发现解集本身构成了一个优美的几何图形，这有助于我们理解定理的结论可以具有多样的几何表现形式。[@problem_id:1634287]", "problem": "考虑嵌入在三维欧几里得空间 $\\mathbb{R}^3$ 中的单位球面 $S^2$，它被定义为所有满足 $x^2 + y^2 + z^2 = 1$ 的点 $(x,y,z)$ 的集合。令北极点为 $N = (0,0,1)$，南极点为 $S = (0,0,-1)$。\n\n一个连续函数 $f: S^2 \\to \\mathbb{R}^2$ 的定义为：将 $S^2$ 上的每个点 $p$ 与它到北极点和南极点的欧几里得距离（按此顺序）组成的有序对相关联。即 $f(p) = (d(p, N), d(p, S))$，其中 $d(p_1, p_2)$ 表示 $\\mathbb{R}^3$ 中点 $p_1$ 和 $p_2$ 之间的标准欧几里得距离。\n\n球面上任意点 $p=(x,y,z)$ 的对跖点由 $-p=(-x,-y,-z)$ 给出。我们关心的是球面上使得函数 $f$ 在点 $p$ 及其对跖点 $-p$ 处取值相同的所有点的集合。\n\n下列哪个选项正确地描述了所有满足 $f(p) = f(-p)$ 的点 $p \\in S^2$ 的集合？\n\nA. 只包含北极点和南极点的集合。\n\nB. 由球面与 $xy$ 平面（赤道）相交所定义的大圆。\n\nC. 整个球面 $S^2$。\n\nD. 空集。\n\nE. 对应于 $z=\\frac{1}{\\sqrt{2}}$ 和 $z=-\\frac{1}{\\sqrt{2}}$ 的两个纬度圈。", "solution": "设 $p=(x,y,z)\\in S^{2}$ 且 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$。点 $p$ 到 $N=(0,0,1)$ 和 $S=(0,0,-1)$ 的欧几里得距离满足\n$$\nd(p,N)^{2}=(x-0)^{2}+(y-0)^{2}+(z-1)^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}-2z+1=2(1-z),\n$$\n$$\nd(p,S)^{2}=(x-0)^{2}+(y-0)^{2}+(z+1)^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}+2z+1=2(1+z).\n$$\n因此\n$$\nf(p)=\\big(\\sqrt{2(1-z)},\\,\\sqrt{2(1+z)}\\big).\n$$\n对于对跖点 $-p=(-x,-y,-z)$，我们有\n$$\nd(-p,N)^{2}=(-x)^{2}+(-y)^{2}+(-z-1)^{2}=x^{2}+y^{2}+(z+1)^{2}=2(1+z),\n$$\n$$\nd(-p,S)^{2}=(-x)^{2}+(-y)^{2}+(-z+1)^{2}=x^{2}+y^{2}+(1-z)^{2}=2(1-z),\n$$\n因此\n$$\nf(-p)=\\big(\\sqrt{2(1+z)},\\,\\sqrt{2(1-z)}\\big).\n$$\n条件 $f(p)=f(-p)$ 要求\n$$\n\\sqrt{2(1-z)}=\\sqrt{2(1+z)} \\quad \\text{和} \\quad \\sqrt{2(1+z)}=\\sqrt{2(1-z)}.\n$$\n这两个等式是等价的，两边平方可得\n$$\n2(1-z)=2(1+z)\\;\\;\\Longrightarrow\\;\\;-z=z\\;\\;\\Longrightarrow\\;\\;z=0.\n$$\n因此，所有满足 $f(p)=f(-p)$ 的点 $p\\in S^{2}$ 的集合恰好是由 $z=0$ 给出的那个大圆，即赤道 $S^{2}\\cap\\{(x,y,z)\\in\\mathbb{R}^{3}:z=0\\}$。这对应于选项 B。", "answer": "$$\\boxed{B}$$", "id": "1634287"}, {"introduction": "这个练习展示了博尔苏克-乌拉姆定理在更抽象和综合性问题中的应用威力。在这里，我们不再直接寻找满足 $f(p) = f(-p)$ 的点，而是巧妙地利用“这样的点必然存在”这一事实，来推断一个看似无关的、更复杂的函数的性质。这个问题训练我们将一个物理或几何情境转化为定理的标准形式，并利用其存在性结论来解决问题，这体现了拓扑学定理在其他科学领域中作为推理工具的强大力量。[@problem_id:1634281]", "problem": "一个行星科学家团队正在为一个新发现的系外行星建模，他们将该行星近似为一个完美的单位球面，记作 $S^2$，嵌入在 $\\mathbb{R}^3$ 中。他们的模型包含一个连续的地下矢量场 $\\vec{V}(\\vec{x})$，该矢量场描述了行星地幔中一种理论流体在任意点 $\\vec{x} \\in \\mathbb{R}^3$ 的流动情况。\n\n为了分析这种流动的表面效应，他们为行星表面（$S^2$）上的任意点 $\\vec{p}$ 定义了两个标量：\n1.  **上升通量** (Upwelling Flux)，$U(\\vec{p})$，是矢量场 $\\vec{V}$ 在点 $\\vec{p}$ 处沿向外径向方向的分量。\n2.  **极漂移** (Polar Drift)，$D(\\vec{p})$，是矢量场 $\\vec{V}$ 沿着行星固定自转轴的分量，该自转轴由单位向量 $\\hat{k} = (0, 0, 1)$ 表示。\n\n科学家们对表面上对跖点之间的关系特别感兴趣。他们构造了一个复值“对跖差异函数”（antipodal discrepancy function），定义如下：\n$$ F(\\vec{p}) = \\big( U(\\vec{p}) - U(-\\vec{p}) \\big) + i \\big( D(\\vec{p}) - D(-\\vec{p}) \\big) + (3 - 4i) $$\n其中 $i$ 是满足 $i^2 = -1$ 的虚数单位。\n\n代数拓扑学的一个基本定理保证，无论连续矢量场 $\\vec{V}$ 的具体形式如何，函数 $F$ 的像（即所有可能的 $F(\\vec{p})$ 值的集合，其中 $\\vec{p} \\in S^2$）必然包含一个特定的复数。确定这个复数。请以 $a+bi$ 的形式表示你的答案。", "solution": "令 $S^{2}=\\{\\vec{p}\\in\\mathbb{R}^{3}:|\\vec{p}|=1\\}$。对于任意 $\\vec{p}\\in S^{2}$，其向外的径向单位向量就是 $\\vec{p}$ 本身。因此，上升通量和极漂移为\n$$\nU(\\vec{p})=\\vec{V}(\\vec{p})\\cdot \\vec{p},\\qquad D(\\vec{p})=\\vec{V}(\\vec{p})\\cdot \\hat{k},\n$$\n其中 $\\hat{k}=(0,0,1)$。由于 $\\vec{V}$ 在 $\\mathbb{R}^{3}$ 上是连续的，其在 $S^{2}$ 上的限制也是连续的，并且与一个固定的连续矢量场的点积会产生连续的标量函数；因此 $U$ 和 $D$ 在 $S^{2}$ 上是连续的。\n\n通过 $a+bi\\leftrightarrow (a,b)$ 将 $\\mathbb{C}$ 与 $\\mathbb{R}^{2}$ 等同起来。定义一个连续映射 $f:S^{2}\\to\\mathbb{R}^{2}$ 如下\n$$\nf(\\vec{p})=\\big(U(\\vec{p}),\\,D(\\vec{p})\\big).\n$$\n根据 Borsuk–Ulam 定理，对于任何连续映射 $f:S^{n}\\to\\mathbb{R}^{n}$，都存在一个点 $\\vec{p}_{0}\\in S^{n}$，使得 $f(\\vec{p}_{0})=f(-\\vec{p}_{0})$。将此定理应用于 $n=2$ 的情况，存在一个点 $\\vec{p}_{0}\\in S^{2}$ 使得\n$$\nU(\\vec{p}_{0})=U(-\\vec{p}_{0}),\\qquad D(\\vec{p}_{0})=D(-\\vec{p}_{0}).\n$$\n\n定义对跖差异函数\n$$\nF(\\vec{p})=\\big(U(\\vec{p})-U(-\\vec{p})\\big)+i\\big(D(\\vec{p})-D(-\\vec{p})\\big)+(3-4i).\n$$\n在由 Borsuk–Ulam 定理提供的点 $\\vec{p}_{0}$ 处，差值消失：\n$$\nU(\\vec{p}_{0})-U(-\\vec{p}_{0})=0,\\qquad D(\\vec{p}_{0})-D(-\\vec{p}_{0})=0,\n$$\n因此\n$$\nF(\\vec{p}_{0})=3-4i.\n$$\n所以，无论连续矢量场 $\\vec{V}$ 的具体形式如何，$F$ 的像必然包含复数 $3-4i$。", "answer": "$$\\boxed{3-4i}$$", "id": "1634281"}]}